문제 : boj30025
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필요 알고리즘
- DP (동적 계획법), 수학
- DP를 이용해 풀 수 있는 문제이다. 풀이를 위해 수학적인 지식이 필요하다.
※ 제 코드에서 왜 main 함수에 로직을 직접 작성하지 않았는지, 왜 Scanner를 쓰지 않고 BufferedReader를 사용했는지 등에 대해서는 '자바로 백준 풀 때의 팁 및 주의점' 글을 참고해주세요. 백준을 자바로 풀어보려고 시작하시는 분이나, 백준에서 자바로 풀 때의 팁을 원하시는 분들도 보시는걸 추천드립니다.
풀이
우선 M자리의 양의 정수를 구하고, 그 중 K의 배수가 몇 개인지 구하는 문제이다. 물론 실제로 가능한 모든 M자리 양의 정수를 구해보면 O(N^M) = O(10^100) 이라는 천문학적인 경우의수가 되므로 불가능하다. 그럼 어떻게 할까?
M자리 수를 한방에 만들 생각을 하지 않고, 1자리수 부터 M자리 수를 차례대로 만드는걸 생각해보자. 이 경우 자릿수를 늘리는 과정은 매번 '이전 숫자x10+a' 를 하는 과정이다. a는 주어진 N개의 숫자이다. 이 때 우리가 알아야 하는건 K의 배수가 몇 개인지 이고, K의 배수라는 말은 'K로 나눈 나머지가 0이다' 라는 말과 동일한 말이다. 그리고 나머지 연산엔 다음과 같은 식이 성립한다.
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즉, 최종적으로 K로 나누어 떨어지는지 알기 위해서는 실제 수가 필요한게 아니라 그냥 이전 숫자를 K로 나눈 나머지만 알면 된다는 얘기이다. 그리고 K로 나눈 나머지는 [0, K-1] 의 범위를 가진다. 그러므로 다음과 같이 동적 계획법을 짜볼 수 있다.
dp[x][y] = x+1 자리수로 만들 수 있는 수 중 K로 나눈 나머지가 y인 경우의 수
그럼 dp[x][(이전 수*10+a)%K] += dp[x-1][이전 수] 와 같이 x-1값의 dp 배열을 가지고 현재 x값의 dp배열 값을 정할 수 있게 된다. O(NMK)로 답을 구할 수 있고, 실제로 보는 O(N^M)에 비해 엄청나게 빠르게 답을 구할 수 있게 된다. 그리고 답은 10^9+7로 나눈 나머지를 구한다고 되어있고, 위에서 설명한 것과 마찬가지로 그냥 매번 10^9+7로 나눈 나머지만 유지해도 답을 구하는데 문제 없다.
코드 : github
import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.StringTokenizer;
public class Main {
static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in), 1 << 16);
private static final int MOD = 1_000_000_007;
public static void main(String[] args) throws Exception {
new Main().solution();
}
public void solution() throws Exception {
StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
int n = Integer.parseInt(st.nextToken());
int m = Integer.parseInt(st.nextToken());
int k = Integer.parseInt(st.nextToken());
int[] num = new int[n];
st = new StringTokenizer(br.readLine());
for (int i = 0; i < n; i++) {
num[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
}
int[][] dp = new int[m][k];
for (int cur : num) {
if (cur == 0) continue;
dp[0][cur%k] += 1;
}
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 0; j < k; j++) {
int bf = dp[i-1][j];
if (bf == 0) continue;
for (int cur : num) {
int nextNum = j*10+cur;
nextNum %= k;
dp[i][nextNum] += bf;
dp[i][nextNum] %= MOD;
}
}
}
System.out.println(dp[m-1][0]);
}
}
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